Число π — математическая константа, равная отношению длины любой окружности к её диаметру в евклидовой геометрии.
Приближённо π = 3,1415926535…, а его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Почему отношение одно и то же
Если увеличить круг в несколько раз, его диаметр и длина окружности увеличатся во столько же. Их отношение не изменится. Поэтому длину окружности вычисляют как C = πd = 2πr, а площадь круга — как A = πr².
Число 3,14 достаточно для грубых бытовых расчётов. В инженерной задаче выбирают столько знаков, сколько требует допустимая погрешность. Хранить миллионы цифр для обычных вычислений бессмысленно.
Иррациональное и трансцендентное число
π нельзя точно записать отношением двух целых чисел: оно иррационально. Кроме того, π трансцендентно — не является корнем ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. Из трансцендентности следует невозможность классической квадратуры круга циркулем и линейкой.
Бесконечная запись не означает, что значение неопределённо. π задаётся точно через геометрическое отношение, интегралы, ряды и другие эквивалентные формулы; десятичные цифры — лишь один способ его представления.
Как вычисляли π
Древние культуры использовали приближения, достаточные для строительства и землемерия. Архимед получил строгие границы, сравнивая периметры вписанных и описанных многоугольников. Позднее появились бесконечные ряды, произведения и быстрые итерационные алгоритмы.
Символ π ввёл в употребление Уильям Джонс в XVIII веке, а широко известным его сделал Леонард Эйлер. Современные рекорды вычисления цифр проверяют алгоритмы и вычислительные системы, хотя сами цифры редко нужны прикладной науке в таком количестве.
Где встречается π
Константа появляется в геометрии кругов и сфер, описании колебаний и волн, тригонометрии, статистике и уравнениях физики. Причина шире обычной окружности: вращательная симметрия и периодические процессы естественно приводят к углам, синусам, косинусам и интегралам, содержащим π.
Не следует путать π с буквой «п» или словом «пир»: обозначение происходит от греческой буквы пи и связано с традицией обозначать периметр.
Сколько цифр π известно?
Компьютеры вычислили триллионы цифр, но рекорд меняется и не определяет смысл числа. Для большинства научных и инженерных расчётов достаточно нескольких десятков знаков.
Равно ли π дроби 22/7?
Нет. 22/7 — удобное приближение, немного большее истинного значения. Никакая обычная дробь не равна π точно, потому что π иррационально.